Calcul de dérivées

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) .

1. \(f(x)=2x+7\)

2. \(g(x)=x^2+x+5\)

3. \(h(x)=\dfrac{x^3}{3}\)

4.  \(k(x)=-4x^2+6x-1\)

Solution

1. `f` est une fonction affine avec `a=2` et `b=7` .

La fonction `f` est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel `x` , `f'(x)=2` .

2. La fonction `g` est de la forme `u+v` avec \(u(x)=x^2\) et `v(x)=x+5` .

Les fonctions `u` et `v` sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=1\) .

La fonction `g` est donc dérivable sur `\mathbb{R}` et, pour tout réel `x` , \(g'(x)=2x+1\) .

3. Pour tout réel `x` , \(h(x)=\dfrac{1}{3}x^3\) donc `h` est de la forme `ku` avec \(k=\dfrac{1}{3}\) et `u(x)=x^3` .

La fonction `u` est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(u'(x)=3x^2\) .

La fonction `h` est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel  `x` , \(h'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\) soit \(h'(x)=x^2\) .

4. On reconnaît ici une somme de deux fonctions dont l'une est le produit d'une fonction de référence par un réel.

La fonction `k` est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(k'(x)=-4 \times 2x+6\) soit \(k'(x)=-8x+6\) .